经济管理类本科数学基础课程教学基本要求

经济管理类本科数学基础课程教学基本要求

数学与统计学教学指导委员会

一、前言

   数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学.随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延.现代数学的内容更丰富，方法更综合，应用更广泛.数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.数学教育在培养高素质经济和管理人才中越来越显示出其独特的、不可替代的重要作用.

   高等学校经济类和管理类专业本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析几何、概率论与数理统计，它们都是必修的重要基础理论课.在学习过程中，要将数学知识与其经济应用有机结合.通过这些课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数、常微分方程与差分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础.在传授知识的同时，要注意培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力.

   课程的教学基本要求，是经济类和管理类专业本科生学习本课程都应当达到的合格要求，其中带*号的条目是为某些相关专业选用的，也是对选用专业学生的基本要求.各校各专业根据本校本专业的实际情况，在达到基本要求的基础上，还可以提出一些较高的或特殊的要求.

   各门课程的内容按教学要求的不同，都分为两个层次.文中用黑体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用.其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述.非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者.其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述.

   基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据，但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序.

二、微积分课程教学基本要求

   1. 函数、极限、连续

   (1) 在中学已有的基础上, 加深对函数概念的理解和对函数基本性态(奇偶性、周期性、单调性、有界性)的了解.

   (2) 理解复合函数的概念；了解反函数的概念，理解初等函数的概念.

   (3) 会建立简单的经济问题的函数关系式；了解经济学中常用的一些函数.

   (4) 理解数列极限和函数极限的概念.

   (5) 了解无穷大、无穷小、高阶无穷小和等价无穷小的概念；会用等价无穷小求极限.

   (6) 掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限.

   (7) 了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则）；了解两个重要极限_{与,并会用它们求一些相关的极限.}

   (8) 理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念, 会判断间断点的类型.

   (9) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和有界性定理、零点定理和介值定理）.

   2. 一元函数微分学

   (1) 理解导数的概念及其几何意义和经济意义(含边际与弹性的概念)，了解函数的可导性与连续性之间的关系.

   (2) 掌握基本初等函数的求导公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则；了解反函数的求导法则；掌握隐函数的求导方法.

   (3) 了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法. 了解几个常见的函数(e^x, sin x, cos x, ln(1+x)) 的n阶导数的一般表达式.

   (4) 理解微分的概念，了解微分概念中包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性.

   (5) 理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理及柯西(Cauchy)中值定理，会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限.

   (6) 了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想(对定理的证明及利用泰勒定理证明相关问题不作要求).

   (7) 理解函数的极值概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法. 会求解经济管理问题中的最大值与最小值的应用问题.

   (8) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线).

   3. 一元函数积分学

   (1) 理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分的性质；了解原函数存在定理.

   (2) 掌握不定积分的基本公式；掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.

   (3) 理解定积分的概念及几何意义；了解定积分的基本性质和积分中值定理.

   (4) 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理；掌握牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式.

   (5) 掌握定积分的换元法与分部积分法.

   (6) 掌握实际问题中建立定积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单的几何问题及经济问题的定积分表达式.

   (7) 了解两类反常积分及其收敛性的概念；了解函数的概念.

   4. 无穷级数

   (1) 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.

   (2) 了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p-级数的敛散性结果；掌握正项级数的比值审敛法.

   (3) 了解交错级数的莱布尼茨定理；了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.

   (4) 掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求)；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数.

   (5) 会用_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}，_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}，_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}，_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}与_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数.

   (6) 了解一些无穷级数在经济中的应用.

   5. 向量代数与空间解析几何

   (1) 理解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离；理解向量的概念及其表示.

   (2) 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，了解两个向量垂直、平等的条件.

   (3) 掌握平面的方程和直线的方程及其求法.

   (4) 了解曲面方程及空间曲线方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标面上的投影.

   6. 多元函数微积分学

   (1) 理解二元函数的概念及几何意义；了解多元函数的概念.

   (2) 了解二元函数的极限与连续的概念；了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

   (3) 理解二元函数偏导数与全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件.掌握求偏导数和全微分的方法.

   (4) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导(对抽象复合函数的二阶偏导数，只作简单训练).

   (5) 会求由一个方程确定的隐函数的一阶偏导数.

   (6) 理解二元函数极值与条件极值概念；会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解比较简单的最大值和最小值问题.

   (7) 理解二重积分的概念及几何意义；了解二重积分性质；掌握二重积分的计算方法(直角坐标，极坐标)；会计算无界域上的较简单的反常二重积分.

   ^*(8) 了解三重积分的概念及计算.

   (9) 会用多元函数的微积分知识解决一些简单的经济问题.

   7. 微分方程与差分方程

   (1) 了解微分方程与差分方程的一些基本概念.

   (2) 掌握一些基本的一阶微分方程(可分离变量方程、齐次方程及一阶线性方程)的求解方法.

   (3) 掌握一阶常系数齐次线性差分方程的求解方法；掌握简单的一阶常系数非齐次线性差分方程的求解方法.

   (4) 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：_{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}= f (x), _{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}=f (x, y), _{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}= f (y, _{<!--[if !vml]--><!--[endif]-->}).

   (5) 了解二阶线性微分方程和差分方程解的结构；会求解二阶常系数的齐次线性微分方程和差分方程；会求解一些简单的二阶常系数的非齐次线性微分方程和差分方程.

   (6) 会通过建立微分方程和差分方程模型，解决一些简单的经济问题.

三、线性代数课程教学基本要求

   1. 行列式

   (1) 了解行列式的概念, 掌握行列式的基本性质.

   (2) 会应用行列式的定义、性质和有关定理计算行列式.

   (3) 了解克拉默法则.

   2. n维向量

   (1) 理解n维向量的概念，理解向量的线性组合和线性表示的概念.掌握向量的加法和数乘运算.

   (2) 理解向量组的线性相关和线性无关的定义；会判断向量组的线性相关性或线性无关性.

   (3) 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念；会求向量组的极大线性无关组和秩.

   3. 矩　阵

   (1) 理解矩阵的概念.

   (2) 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵以及它们的性质.

   (3) 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置以及它们的运算规律；了解方阵的幂、方阵乘积的行列式的性质.

   (4) 理解逆矩阵的概念；掌握矩阵可逆的充分必要条件；了解伴随矩阵与逆矩阵的关系；掌握逆矩阵的性质.

   (5) 掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念.

   (6) 了解矩阵秩的概念；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系.

   (7) 掌握用初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵的方法.

   4. 线性方程组

   (1) 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

   (2) 理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念.

   (3) 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.

   (4) 掌握用初等变换求线性方程组通解的方法.

   5. 向量空间

   (1) 了解n维向量空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念；了解向量在不同基底下的坐标变换.

   (2) 了解向量内积的定义；掌握线性无关向量组的正交化方法.

   (3) 了解正交矩阵的定义及主要性质.

   6. 矩阵的特征值与特征向量

   (1) 了解矩阵特征值、特征向量等概念及有关性质.会求矩阵特征值和特征向量.

   (2) 了解相似矩阵的概念.

   (3) 掌握将实对称矩阵化为对角阵的方法.

   ^*(4) 了解向量和矩阵序列极限的概念；了解矩阵级数的收敛性及收敛条件.

   ^*(5) 了解投入产出数学模型.

   7. 二次型

   (1) 了解二次型的概念；会用矩阵形式表示二次型.

   (2) 了解合同变换和合同矩阵的概念；了解二次型的秩的概念；了解二次型的标准形、规范形等概念；了解惯性定理的条件和结论；会用正交变换和配方法化二次型为标准形.

   (3) 理解正定（负定）二次型、正定(负定)矩阵的概念；掌握正定矩阵的基本性质；了解二次型在求极值问题中的应用.

四、概率论与数理统计课程教学基本要求

   1. 随机事件与概率

   (1) 了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算.

   (2)了解事件频率的概念、了解概率的统计定义.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率.

   (3) 了解概率的公理化定义，理解概率的基本性质，理解概率加法定理.

   (4) 了解条件概率的概念. 理解概率的乘法定理. 了解全概率公式，理解贝叶斯（Bayes）公式，并会应用贝叶斯公式解决较简单问题.

   (5) 理解事件的独立性概念. 了解伯努利(Bernoulli)概型和二项概率的计算方法.

   2. 随机变量及其分布

   (1) 理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.

   (2) 理解离散型随机变量及其分布律的概念，掌握0-1分布、二项分布和泊松(Poisson)分布.

   (3) 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握正态分布、均匀分布和指数分布.

   (4) 会根据自变量的概率分布求其简单随机变量函数的概率分布.

   3. 多维随机变量及其分布

   (1) 了解多维随机变量的概念，理解二维随机变量的分布函数的概念.

   (2) 理解二维离散型随机变量的分布律的概念，理解二维连续型随机变量的概率密度的概念.

   (3) 理解二维离散型随机变量的边缘分布律，理解二维连续型随机变量的边缘概率密度.

   (4) 理解随机变量的独立性概念.

   (5) 会求两个独立随机变量简单函数的分布（和、极大、极小），了解有限个正态分布的线性组合仍是正态分布的概念.

   4. 随机变量的数字特征

   (1) 理解随机变量数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算.会求随机变量函数的数学期望.

   (2) 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望与方差.

   (3) 了解矩、协方差、相关系数的概念及其性质，并会计算.

   (4) 了解随机变量的数字特征在经济中的应用.

   5. 大数定律和中心极限定理

   (1) 了解切比雪夫（Чебйыев）不等式，切比雪夫大数定律和伯努利大数定律，了解伯努利大数定律与概率的统计定义、参数估计之间的关系.

   (2) 了解棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）中心极限定理，并会运用该定理近似计算有关事件的概率.

   (3) 了解独立同分布的中心极限定理.

   6. 数理统计的基本概念

   (1) 理解总体、个体、样本和统计量的概念.

   (2) 了解直方图的作法.

   (3) 理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法.

   (4) 了解<!--[if !vml]--><!--[endif]-->分布，<!--[if !vml]--><!--[endif]-->分布，<!--[if !vml]--><!--[endif]-->分布的定义，并会查表计算分位数.

   (5) 了解正态总体的常用抽样分布.

   (6) 了解经验分布函数的概念和性质，会根据样本值求经验分布函数.

   7. 参数估计

   (1) 理解点估计的概念，掌握矩估计法与极大似然估计法.

   (2) 了解估计量的评判标准（无偏性、有效性、一致性）.

   (3) 理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间.

   8. 假设检验

   (1) 理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.

   (2) 了解单个正态总体均值与方差的假设检验，了解两个正态总体均值差与方差比的假设检验.

   ^*(3) 了解总体分布假设的<!--[if !vml]--><!--[endif]-->检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验.

   9. 回归分析

   ^*(1) 了解回归分析的含义.

   ^*(2) 会用最小二乘法求回归系数；了解可线性化为一元线性回归的基本类型.

   ^*(3) 会作简单预测.

五、建 议

   (1) 随着社会的发展，经济管理领域对数学的要求越来越高，经济管理类专业数学具有越来越强烈的应用背景.学校和教师在经济管理类数学课程的教学中应努力联系本专业的实际，以提高学生学习数学的兴趣和应用数学知识解决本专业实际问题的意识和能力.要努力收集数学在经济管理中鲜活的应用案例，引入教学和教材.在引入数学知识时也应提倡从解决经济管理领域中的适当的实际问题入手，通过建立数学模型解决这些实际问题的过程来引入数学的概念、思想和方法.在教学实践中不断改革创新，逐步形成适应现代社会发展中经济管理实际的数学教学内容体系.

   (2) 各校应根据自身的实际情况，努力创造条件，以适当的形式开设与理论教学相配套的数学建模和数学实验课，或在现有数学课程教学中适当安排数学建模和数学实验的内容，培养学生建立数学模型并借助于数学软件解决经济和管理问题的能力.

   (3) 积极进行教学方法与教学手段的改革，不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法.要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短.

   (4) 为达到本课程教学基本要求，需要有相应的教学课时.建议微积分、线性代数、概率论与数理统计各部分的学时分别不低于144、36和54.

          (5)  希望各校在教学过程中不断总结经验，就如何改进和加强经济类数学课程的教学提出意见和建议.